数列an中，2a1+2的平方a2+...+2的n次方an=n2+n/2 (1).求an （2).求an的前n项和

meiyourenhuida,wuwu

(1) 2a1+2^2*a2+...+2^(n-1)*a(n-1)+2^n*an=n^2+n/2 ①
2a1+2^2*a2+...+2^(n-1)*a(n-1)=(n-1)^2+(n-1)/2 ②
①-②，得
2^n*an=n^2+n/2 -[(n-1)^2+(n-1)/2]=2n-1/2
∴an=2^(-n)*(2n-1/2)
(2) Sn=(2-1/2)/2+(2*2-1/2)/(2^2)+...+(2n-1/2)/(2^n)
=(2/2+2*2/2^2+2*3/2^3+...+2n/2^n)-(1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n+1))
设Pn=(2/2+2*2/2^2+2*3/2^3+...+2n/2^n) (1)
Qn=(1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n+1)) 则Sn=Pn-Qn
对Qn，为等比数列的前n项和，其中，a1=1/4，q=1/2
∴Qn=1/4*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=1/2*(1-(1/2)^n)=1/2-1/2^(n+1)
对Pn，有Pn/2=(2/2^2+2*2/2^3+2*3/2^4+...+2(n-1)/2^n+2n/2^(n+1)) (2)
(1)-(2)，得
Pn-Pn/2=Pn/2=(2/2+2/2^2+2/2^3+...+2/2^n+2n/2^(n+1))
=2(1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n+n/2^(n+1))
=2(1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n+1/2^(n+1)+(n-1)/2^(n+1))
=2(1/2+Qn+(n-1)/2^(n+1))
∴Pn=4(1/2+Qn+(n-1)/2^(n+1))=2+4(n-1)/2^(n+1)+4Qn
∴Sn=Pn-Qn=2+4(n-1)/2^(n+1)+4Qn-Qn
=2+4(n-1)/2^(n+1)+3Qn
=2+4(n-1)/2^(n+1)+3*[1/2-1/2^(n+1)]
=7/2+(4n-1)/2^(n+1)

解： n=1时，a1=(2×1-3)·2²=-4 n≥2时， a1+3a2+...+(2n-3)a(n-1)+(2n-1)an=(2n-3)·2^(n+1) (1) a1+3a2+...+(2n-3)a(n-1)=(2n-5)·2ⁿ (2) (1)-(2) (2n-1)an=(2n-3)·2^(n+1) -(2n-5)·2ⁿ=(4n-6-2n+5)·2ⁿ =(2n-1)·2ⁿ an=2ⁿ n=1时，a1=2≠-4 数列{an}的通项公式为 an=-4 n=1 2ⁿ n≥2 n=1时，b1=s1=2+1-2=1 n≥2时，sn=2n²+n-2 s(n-1)=2(n-1)²+(n-1)-2 bn=sn-s(n-1)=2n²+n-2 -2(n-1)²-(n-1)+2=4n-1 n=1时，b1=4-1=3≠1 数列{bn}的通项公式为 bn=1 n=1 4n-1 n≥2 n=1时，w1=a1b1=(-4)·1=-4 n≥2时， anbn=(4n-1)·2ⁿ=n·2^(n+2) -2ⁿ wn=a1b1+a2b2+...+anbn =-4+[2×2^4+3×2^5+...+n×2^(n+2)]-(2²+2³+...+2ⁿ) 令tn=2×2^4+3×2^5+...+n×2^(n+2) 则2tn=2×2^5+3×2^6+...+(n-1)×2^(n+2)+n×2^(n+3) tn-2tn=-tn=2×2^4+2^5+2^6+...+2^(n+2)-n×2^(n+3) =[2^4+2^5+2^6+...+2^(n+2)]-n×2^(n+3) +16 =16×[2^(n-1) -1]/(2-1) -n×2^(n+3) +16 =16×2^(n-1)-16n×2^(n-1) tn=(16n-16)×2^(n-1) wn=-4+tn-4 ×[2^(n-1) -1]/(2-1) =(16n-16)×2^(n-1)-4×2^(n-1) =(16n-20)×2^(n-1) =(4n-5)×2^(n+1) =n×2^(n+3)-5×2^(n+1) n=1时，w1=1×16-5×4=-4，同样满足。 综上，得wn=n×2^(n+3)-5×2^(n+1)

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