多项式f(x)除以x-3得余式16,除以x+4得余式-19,则f(x)除以(x-3)(x+4)所得的余式是多少？

多项式f(x)除以x-3得余式16,除以x+4得余式-19,则f(x)除以(x-3)(x+4)所得的余式是多少？

多项式f(x)除以x-3得余式16,除以x+4得余式-19,则f(x)除以(x-3)(x+4)所得的余式是多少？
解：设f(x)除以x-3的商为P(x)，余式为16，那么f(x)=P(x)(x-3)+16；
故得P(x)=[f(x)-16]/(x-3)............(1)
再设f(x)除以x+4的商为Q(x)，余式为-19，那么f(x)=Q(x)(x+4)-19；
故得Q(x)=[f(x)+19]/(x+4)...........(2)
(1)-(2)得P(x)-Q(x)=[f(x)-16]/(x-3)-[f(x)+19]/(x+4)={[f(x)-16](x+4)-[f(x)+19](x-3)}/(x-3)(x+4)
={[xf(x)-16x+4f(x)-64]-[xf(x)+19x-3f(x)-57]}/(x-3)(x+4)=[7f(x)-35x-7]/(x-3)(x+4)
故得f(x)=(1/7){[P(x)-Q(x)](x-3)(x+4)+(35x+7)}=R(x)(x-3)(x+4)+5x+1
其中R(x)=(1/7)[P(x)-Q(x)]是f(x)除以(x-3)(x+4)的商式，而余式是5x+1.

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