已知函数f(x)=e^x(e为自然对数的底数)，g(x)=f(x)-f(-x)-(a+1/a)x

已知函数f(x)=e^x(e为自然对数的底数)，g(x)=f(x)-f(-x)-(a+1/a)x，x属R，a大于0
1:判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由
2:求函数g(x)的单调递增区间
3证明对任意实数x1和x2，且x1不等x2，都有不等式f（（x1+x2）\2）<（f（x1）-f（x2）\（x1-x2））<（f（x1）+f（x2））\2成立

第一问我会，第二问求不出导~

已知函数f(x)=e^x(e为自然对数的底数)，g(x)=f(x)-f(-x)-(a+1/a)x，x属R，a大于0
1:判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由
2:求函数g(x)的单调递增区间
3证明对任意实数x1和x2，且x1不等于x2，都有不等式
f[(x₁+x₂)/2]<[(f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)]<[f(x₁)+f(x₂)]/2成立
解：(1)g(x)=e^x-e^(-x)-(a+1/a)x，定义域：(-∞，+∞）关于原点对称，且
g(-x)=e^(-x)-e^x+(a+1/a)x=-[e^x-e^(-x)-(a+1/a)x]=-g(x)，∴g(x)是奇函数。
(2).g′(x)=e^x+e^(-x)-(a+1/a)=[e^(2x)+1]/e^x-(a+1/a)=[e^(2x)-(a+1/a)e^x+1]/e^x
=[e^(2x)-(a+1/a)e^x+a(1/a)]/e^x=(e^x-a)(e^x-1/a)]e^x
由于对任何x都有e^x>0，故g′(x)的符号取决于分子(e^x-a)(e^x-1/a)的符号。
当01/a，即xln(1/a)=-lna时，g′(x)>0，即函数g(x)
在区间(-∞，lna)∪(-lna，+∞）内单调增；lna 内单调减；
当a=1时，g′(x)=(e^x-1)²/e^x>0对任何x都成立，故函数g(x)在其全部定义域内单调增；
当a>1时，a>1/a，此时g(x)在(-∞，-lna)∪(lna，+∞）内单调增；在区间(-lna，lna)内单调减。
(3)设-∞ 在(x₂，x₁)内至少存在一点ξ，x₂<ξ 即有[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)=f′(ξ).
f(x)=e^x是单增函数，f′(x)=e^x，f′(ξ)=e^ξ， x₂<(x₁+x₂)/2 故f(x₂) 即有f[(x₁+x₂)/2]<[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)<[f(x₁)+f(x₂)]/2

（ⅰ）因为f（x）=（x+a）ex， 所以f′（x）=（x+a+1）ex， 令f′（x）=0，得x=-a-1   当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下： x（-∞，-a-1）-a-1（-a-1，+∞） f′（x）-0+f（x）↘↗故f（x）的单调减区间为（-∞，-a-1）；单调增区间为（-a-1，+∞）． （ⅱ）由（ⅰ），得f（x）的单调减区间为（-∞，-a-1）；单调增区间为（-a-1，+∞）． 所以当-a-1≤0，即a≥-1时，f（x）在[0，4]上单调递增， 故f（x）在[0，4]上的最小值为f（x）min=f（0）=a；        当0＜-a-1＜4，即-5＜a＜-1时， f（x）在（0，-a-1）上单调递减，在（-a-1，4）上单调递增， 故f（x）在[0，4]上的最小值为f（x）min=f（-a-1）=-e-a-1； 当-a-1≥4，即a≤-5时，f（x）在（0，4）上单调递减， 故f（x）在[0，4]上的最小值为f（x）min=f（4）=（a+4）e4． 所以函数f（x）在[0，4]上的最小值为为f（x）min= a                (a≥−1)−e−a−1     (−5＜a＜−1)(a+4)e4    (a≤−5)

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