数学竞赛初等数论

设a,b为正整数，满足ab不等于1，求f(a,b)=(a^2+b^2+ab)/(ab-1)所有可能取到的整数值。

竞赛高手进，SB勿扰

不知道对不对
令 f(a,b)=n (n为整数),因为ab不等于1
则
a^2+b^2+ab= nab-n
(a+b)^2=(n+1)ab-n   ...(1)
构造一元二次方程，x^2-px+q=0使a和b是方程的2个解
则(a+b)=p, ab=q,  p和q均为正整数
由(1)得, p^2=(n+1)q-n
又因为方程有2个解
所以p^2-4q>=0 即  (n-3)q-n>=0
因为q是正整数,所以n-3>0
所以q>= n/(n-3)
所以n只能取4和6,
因为p也是正整数,所以将n的取值代入得 n=4, q=4, p^2=16;  n=6, p=2, p^2=8
显然第二组答案错误
所以n=4,即f(a,b)可能的正整数值只有4.

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