什么是最小二乘虚拟变量估计方法

什么是最小二乘虚拟变量估计方法

一,什么是最小二乘估计least-square estimation
例: y = ax + (
其中:y,x 可测;( — 不可测的干扰项;
a —未知参数.通过 N 次实验,得到测量数据 yk 和
xk k = 1,2,3 …,确定未知参数 a 称参数估计. 使准则 J 为最小 :
令:( J ( ( a = 0 , 导出 a =
称为最小二乘估计,即残差平方总和为最小的估计,Gauss于 1792晏岢?
二,多元线性回归
线性模型 y = a0+ a1x1+(+ anx n + ( 式(2 - 1- 1)
引入参数向量: ( = [ a0,a1, (a n ]T (n+1)(1
进行 N 次试验,得出N 个方程:
yk = (kT ( + (k ; k=1,2…,N 式(2 -1- 2)
其中:(k = [ 1,x1,x2,(,x N ] T (n+1) (1
方程组可用矩阵表示为
y = ( ( + ( 式(2 -1- 3)
其中:y = [ y1,y2, ...,y N ] T (N (1)
( = [ (1, (2, ...,( N ] T (N 1)
N (n+1)
估计准则:
有:
= (y — ( ()T( y — ( ()
(1(N) ( N(1)
J = yTy + (T (T ( ( -yT ( ( - (T (T y
= yTy + (T (T ( ( - 2 (T (T y 式(2 -1- 4)
假设:((T ()(n+1)(n+1) 满秩,由
利用线性代数的以下两个矩阵对向量求偏导数的公式:
和
有: 和
所以:
解出参数估计向量: ( Ls =((T ()-1 (T y 式(2 -1- 5)
令:P = ((T ()-1 则参数估计向量 ( Ls = P (T y
参数估计向量 ( Ls 被视为以下正则方程的解:
((T ()( = (T y 式(2 -1- 6)
注:为了便于区别, 我们用红体字符表示估计量或计算值,而用黑体表示为参数真值或实际测量值.
三,关于参数最小二乘估计 Ls 性质的讨论
以上求解参数最小二乘估计 ( Ls 时并为对{ (k }的统计特性做任何规定,这是最小二乘估计的优点.当{ (k }为平稳零均值白噪声时,则 ( Ls 有如下良好的估计性质:
参数最小二乘估计 ( Ls 是 y 的 线性估计
( Ls = P (T y 是 y 的线性表出;
b) 参数最小二乘估计 ( Ls 是无偏估计,即 E ( Ls= ( (参数真值)
[ 证明 ]:E ( Ls= E[ P (T y ]= P (T E( y ) = P (T E ( (( + ( ) =
P (T ( ( + E( ( ) = ( + 0 = (
最小二乘估计 ( Ls 的估计误差协方差阵是 (2P (n+1)(n+1)
即:E [ ( ( Ls- ( ) ( ( Ls- ( )T ] = (2P
[ 证明 ]:E [ ( ( Ls - ( ) ( ( Ls - ( )T ] = E [ P (T ( y -
( () ( y- ( ()T (P ] = E [ P (T ( (T (P ] = P (T E ( ( (T) (P =
P (T (2 IN(N (P = (2P
若{ (k }为正态分布零均值白噪声时,则 ( Ls 是线性无偏最小方差估计(证明从略).如若{ (k }是有色噪声,则 ( Ls 不具有上述性质,即为有偏估计.
四,......余下全文>>

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