证明多项式f(x)=(x^50-x^49 … …+ x^2- x +1)(x^50+ x^49

… +x^2 +x+ 1)的展开式中不含奇数次项

f(x)=[(x^50+x^48+......+x^2+1)-(x^49+x^47+......+x)][(x^50+x^48+......+x^2+1)+(x^49+x^47+......+x)]=(x^50+x^48+......+x^2+1)²-(x^49+x^47+......+x)²
对于(x^50+x^48+......+x^2+1)²，每一项的次数均为偶数，那么任何一项与其他项的积的指数均为：偶数+偶数=偶数。
对于(x^49+x^47+......+x)²，每一项的次数均为奇数，那么任何一项与其他项的积的指数均为：奇数+奇数=偶数。
所以展开式中不含奇数次项。

多项式f(x)除以x^4+x^2+1所得的余式为x^3+2x^2+3x+4 即存在多项式p(x)： f(x) = (x^4 + x^2 + 1)p(x) + (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)p(x) + (x^2 + x + 1)(x + 1) + x + 3 = (x^2 + x + 1)[(x^2 - x + 1)p(x) + x + 1] + x + 3 即 f(x)除以x^2+x+1所得的余式为x+3

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