高二数学的均值不等式

如何理解高二数学的均值不等式的概念和如何运用？

均值不等式的变形应用
　　(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab 　　(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 　　(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b) 　　(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b) 　　(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0 　　(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab 　　(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 　　(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac 　　(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 　　(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)

用数学归纳法证明均值不等式，需要一个辅助结论。 　　引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。 　　注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 　　原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)^n≥a1a2…an。 　　当n＝2时易证； 　　假设当n＝k时命题成立，即 　　((a1＋a2＋…＋ak )／k)^k≥a1a2…ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2 ，…，a(k＋1)中最大者，则 　　k a(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。 　　设s＝a1＋a2＋…＋ak， 　　{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1) 　　＝{s/k＋[k a(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1) 　　≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[k a(k＋1)－s]／k(k＋1) 用引理 　　＝(s／k)^k* a(k＋1) 　　≥a1a2…a(k＋1)。用归纳假设

因为：(a-b)^2>=0恒成立

a^2+b^2-2ab>=0

a^2+b^2>=2ab

均值不等式为a+b>=2√(ab)

必须满足a,b同时大于等于0

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