正定矩阵
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解决时间 2021-01-10 23:09
- 提问者网友：最爱你的唇
- 2021-01-10 06:58
正定矩阵
最佳答案
- 五星知识达人网友：傲气稳了全场
- 2021-01-10 08:33
设A为n阶正定矩阵,
因此A可以由正交相似变换为对角阵，其中对角阵主对角线上元素为A的特征值，这些特征值都是正数（A是正定阵嘛，教材中都由这个结果的：正定阵的特征值都为正数）
即，存在正交阵P，使得
P(-1)×A×P=对角阵K
注意：正交阵P有性质：转置P（T）= 逆矩阵P(-1)
对角阵K=对角阵1+对角阵2+。。。+对角阵n {将K分拆成n个对角阵}
对角阵i就是它的第i行第i列元素非零（也就是对角阵K的aii元素），其余位置元素全为零的矩阵。
A=P×K×P(-1)=P×(对角阵1+对角阵2+。。。+对角阵n)×P(-1)
=矩阵1+矩阵2+。。。+矩阵n
每个矩阵i都是半正定的，因为 矩阵i = P×(对角阵i)×P(-1)，它的特征值全大于等于零（其实是一个大于零，另外n-1个为零）
因此A可以由正交相似变换为对角阵，其中对角阵主对角线上元素为A的特征值，这些特征值都是正数（A是正定阵嘛，教材中都由这个结果的：正定阵的特征值都为正数）
即，存在正交阵P，使得
P(-1)×A×P=对角阵K
注意：正交阵P有性质：转置P（T）= 逆矩阵P(-1)
对角阵K=对角阵1+对角阵2+。。。+对角阵n {将K分拆成n个对角阵}
对角阵i就是它的第i行第i列元素非零（也就是对角阵K的aii元素），其余位置元素全为零的矩阵。
A=P×K×P(-1)=P×(对角阵1+对角阵2+。。。+对角阵n)×P(-1)
=矩阵1+矩阵2+。。。+矩阵n
每个矩阵i都是半正定的，因为 矩阵i = P×(对角阵i)×P(-1)，它的特征值全大于等于零（其实是一个大于零，另外n-1个为零）
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