高一数学2道20分钟内采纳

设x1，x2是关于x的方程x^2-2kx+1=k^2的两个实数根，求x1^2+x2^2的最小值

 

已知不等式(a^2-1)x^2-(a-1）x-1<0的解是全体实数，求a的取值范围

绝对正确的，！！！

1.  小写"x"为乘号，大写的为未知数。
X^2-2kX+1=k^2
X^2-2kX+1-k^2 =0
因为有两个实数根，所以(-2k)^2-4x1x(1-k^2)≥0
8 k^2-4≥0
k^2≥1/2
X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1X2
X1+X2=2k
X1X2=1-k^2
X1^2+X2^2=4k^2-2+2k^2=6k^2-2
因为k^2≥1/2
所以6k^2的最小值为3
所以6k^2-2最小值为1
即X1^2+X2^2最小值为1。

 

 

 

 

2.     此题首先考虑二次项系数=0当a=1时,-1<0始终成立,满足
当a=-1时2X-1<0不能保证全体实数.不满足
然后考虑二次项系数不为0,则左边看成一个函数的话,图象为一抛物线
要始终小于0则开口朝下
a^2-1<0.-1<a<1,然后考虑左边式的最大值,只要最大值小于0即可
最大值即X取1/(2a+2)时,左边为(5a+3)/(4a+4)要小于０
得到a的取值范围为a＞-３/５或a＜-１
终上所述得a的取值范围为-３/５<a<=1

①维达定理x1*x2=1-k²,x1+x2=2k,x1^2+x2^2=(x1+x2)²-2x1x2=4k²-2﹙1-k²﹚=6k²-2最小值-2②y=(a^2-1)x^2-(a-1）x-1,a²-1＜o,y的最大值＜0，4ac-b²/4a＜0,5a²-2a-3＜0,-3/5＜a＜1a的取值范围-3/5＜a＜1

（1）  因为x1，x2是关于x的方程x^2-2kx+1=k^2的两个实数根，所以△=（-2k）^2-4（1-k^2）≥0，即2 k^2≥1。

x1^2+x2^2=4 k^2-2（1- k^2）=6 k^2-2。因为2 k^2≥1，所以6 k^2-2≥1。即x1^2+x2^2≥1。

（2）    a=1时，-1<0恒成立

a=-1时，2x-1<0，x<0.5，故舍去

a≠±1时，△=(a-1）^2+4(a^2-1)＜0，(a^2-1) ＜0。

解得-3/5＜a＜1,

综上得  -3/5＜a≤1

解答：（1）由题意，x1+x2=2k,x1*x2=1-k^2.所以x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4k^2+2k^2-2=6k^2-2.△=4k^2-4(1-k^2)>=0 k^2>=1/2 所以最小值为6*1/2-2=1 （2） a^2-1<=0 △=(a-1)^2+4(a^2-1)<0,解得，-3/5<=1. 希望能对你有所帮助，谢谢您的采纳

x1+x2=2k    x1*x2=1-k^2

x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4k^2+4k^2-4=8k^2-4>=-4

故x1^2+x2^2的最小值为-4

当a^2-1=0时   a=1或-1(舍)

当a^2-1>0   不可能有不等式(a^2-1)x^2-(a-1）x-1<0的解是全体实数

当a^2-1<0    判别式=(a-1)^2+4(a^2-1)<0

得    -3/5<a<1

综上： -3/5<a<=1

（1)

x1+x2=2k    x1x2=1-k²

所求x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=6k²-2

判别式=4k²-4(1-k²)≥0

得k²≥1/2

故最小值为1

（2）

即(a^2-1)x^2-(a-1）x-1<0恒成立

当a²-1=0时，只有a=1满足

a²-1≠0时

则a²-1<0且判别式<0

即-1<a<1且(a-1)²-4(-1)(a²-1)<0

解得-3/5<a<1

综上-3/5<a≤1

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