问道2次函数题

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b属于R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2

1.如果X1<2<X2<4，设函数的对称轴为x=x0，求证x0>-1

2.如果IX1I<2,IX2-X1I=2,求b的取值范围

f(x)=ax^2+bx+1

=a(x+b/2)^2+1-b^2/4a

对称轴x=x0= -b/2

f(x)=ax^2+bx+1=x

即ax^2+(b-1)x+1=0的两根为x1，x2

△=(b-1)^2-4a＞0

x1*x2=1/a＜8

即0＜x1＜2

且a＞1/8

2＜x1+x2=(1-b)/a＜6

2a＜1-b＜6a

2a-1＜-b＜6a-1

-3/4＜-b

x0= -b/2＞-3/8＞-1

得证

ax^2+(b-1)x+1=0的两根为x1，x2

(x1-x2)^2=x1^2-2x1x2+x2^2

=(x1+x2)^2-4x1x2

根与系数的关系

x1+x2=(1-b)/a

x1*x2=1/a

(x1-x2)^2=[(1-b)/a]^2-4/a

=4

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