求函数f(x)=∫（上限x,下限0）(t+1)arctant dt 的极值

求函数f(x)=∫（上限x,下限0）(t+1)arctant dt 的极值

求函数f(x)=(0,x)∫(t+1)arctant dt 的极值
令df(x)/dx=(x+1)arctanx=0
得驻点x₁=-1,x₂=0
为书写简便,先求不定积分.
∫(t+1)arctantdt=∫t(arctant)dt+∫arctantdt
其中∫arctantdt=t(arctant)-ln[√(1+t²)]
∫tarctantdt=(1/2)∫arctantd(t²)=(1/2){t²arctant-∫[t²/(1+t²)]dt}
=(1/2){t²arctant-∫[1-1/(1+t²)]dt}
=(1/2){t²arctant-t+arctant}=(1/2)[(t²+1)arctant-t]
故f(x)=(0,x)∫(t+1)arctant dt ={(1/2)[(t²+1)arctant-t]+t(arctant)-ln[√(1+t²)]}(0,x)
={(1/2)[(t²+t+1)arctant-t]-ln[[√(1+t²)]}(0,x）
=(1/2)[(x²+x+1)arctanx-x]-ln[√(1+x²)].(1)
将驻点代入（1）式,得极值：
f(-1)=(1/2)[arctan(-1)+1]-ln√2=(1/2)(-π/4+1)-(1/2)ln2=(1/2)[1-(π/4)-ln2](极大值）
f(0)=0（极小值）

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