设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．（1）若x=0是F（x）的极值点，求实数a的值；（2）若x＞0时，函数y=F（x）的图象

设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若x＞0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的图象上方，求实数a的取值范围．

解：（1）F（x）=ex+sinx-ax，求导函数可得F′（x）=ex+cosx-a．
因为x=0是F（x）的极值点，所以F′（0）=1+1-a=0，∴a=2．
当a=2时，若x＜0，F′（x）=ex+cosx-a＜0；若x＞0，F′（x）=ex+cosx-a＞0；
∴x=0是F（x）的极小值点，∴a=2符合题意；
（2）令h（x）=F（x）-F（-x）=ex-e-x+2sinx-2ax，则h′（x）=ex+e-x+2cosx-2a，S（x）=h″（x）=ex-e-x-2sinx．
因为S′（x）=ex+e-x-2cosx≥0，当x＞0时恒成立，所以函数S（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴S（x）≥S（0）=0当x∈（0，+∞）时恒成立；
因此函数h′（x）在[0，+∞）上单调递增，h′（x）≥h′（0）=4-2a，当x∈（0，+∞）时恒成立．
当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）单调递增，即h（x）≥h（0）=0．
故a≤2时，F（x）＞F（-x）恒成立．
当a＞2时，∵h′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴总存在x0∈（0，+∞）使得在区间[0，x0）上h′（x）＜0，
∴h（x）在区间[0，x0）上递减，而h（0）=0
∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，这与F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立矛盾
∴a＞2不合题意
综上a的取值范围是（-∞，2]．解析分析：（1）求导函数，利用x=0是F（x）的极值点，即F′（0）=0，可求a的值，再验证导数的符号的改变；（2）令h（x）=F（x）-F（-x）=ex-e-x+2sinx-2ax，求导函数可得h′（x）=ex+e-x+2cosx-2a，再求导函数S（x）=h″（x）=ex-e-x-2sinx，确定S（x）≥S（0）=0当x∈（0，+∞）时恒成立，从而可得函数h′（x）在[0，+∞）上单调递增，h′（x）≥h′（0）=4-2a，当x∈（0，+∞）时恒成立，进而分类讨论，即可确定实数a的取值范围．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，构造函数，用好导数是关键．

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