设A、B为n阶矩阵，且A^2=A，B^2=B，(A-B)^2=A+B。证明：AB=BA=O
答案:1 悬赏:40 手机版
解决时间 2021-01-08 10:58
- 提问者网友：謫仙
- 2021-01-07 16:49
设A、B为n阶矩阵，且A^2=A，B^2=B，(A-B)^2=A+B。证明：AB=BA=O
最佳答案
- 五星知识达人网友：神鬼未生
- 2021-01-07 18:23
证：由已知，(A-B)²=(A-B)*(A-B)=A(A-B)-B(A-B)=A²-AB-BA+B²=A-AB-BA+B=A+B，
所以AB+BA=0，又AB=A²B=(AA)B=A(AB)=A(-BA)=-A(BA)=-(AB)A=(BA)A=B(AA)=BA²=BA，
所以AB=BA=0.
所以AB+BA=0，又AB=A²B=(AA)B=A(AB)=A(-BA)=-A(BA)=-(AB)A=(BA)A=B(AA)=BA²=BA，
所以AB=BA=0.
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