设函数f(x)=（a^x-1）/（a^x+1），求他的反函数

设函数f(x)=（a^x-1）/（a^x+1），求他的反函数

y=（a^x-1）/（a^x+1）
=[(a^x+1)-2]/(a^x+1)
=1-2/(a^x+1)
∵ a^x>0,a^x+1>1
∴ -2<-2/(a^x+1)<0
∴-1<1-2/(a^x+1)<1
即原函数值域为(-1,1)
继续
2/(a^x+1)=1-y
a^x+1=2/(1-y)
a^x=2/(1-y)-1=(1+y)/(1-y)
两边同时取以a为底的对数
x=log(a)[(1+y)/(1-y)]
x,y换位
得原函数的反函数
为f^-1(x)=log(a)[(1+x)/(1-x)]
其定义域为原函数的值域(-1,1)

（2）
f^-1(x)>0即
log(a)[(1+x)/(1-x)]>0=log(a)1
当a>1时，
原不等式即
{ (x+1)/(1-x)＞1
{-1 <==>
{x+1>1-x
{-1解得0＜x＜1

当0原不等式即
{(x+1)/(1-x)<1
{-1<==>
{x+1<1-x
{-1解得-1＜x＜0追问题目没说a一定是大于0的，他如果小于0怎么办？追答给了函数，它就有意义，只有a>0，且a≠1才有意义
a<0或a=0时，函数没有意义，不必去管

解：
y=(a^x-1)/(a^x+1)
ya^x+y=a^x-1
(y-1)a^x=-1-y
a^x=(y+1)/(1-y)
两边同时取以a为底的对数得
x=loga (y+1)/(1-y)
所以反函数y=loga (x+1)/(1-x)

令loga (x+1)/(1-x)＞0
得 (x+1)/(1-x)＞1
(x+1)/(1-x)-1＞0
[(x+1)-(1-x)]/(1-x)＞0
2x/(1-x)＞0
即2x(1-x)＞0
2x(x-1)＜0
解得0＜x＜1

答案：①反函数y=loga (x+1)/(1-x)
②0＜x＜1

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