设向量a,b,c满足a+b+c=0,证明a·b+b·c+c·a=-1/2(|a|^2+|b|^2+|c|^2)
答案:2 悬赏:10 手机版
解决时间 2021-03-03 14:29
- 提问者网友：感性作祟
- 2021-03-02 14:17
设向量a,b,c满足a+b+c=0,证明a·b+b·c+c·a=-1/2(|a|^2+|b|^2+|c|^2)
最佳答案
- 五星知识达人网友：低血压的长颈鹿
- 2021-03-02 14:58
前面的题目也是你的？这个很好证明的：
a+b+c=0，故：(a+b+c)·(a+b+c)=0，即：a·(a+b+c)+b·(a+b+c)+c·(a+b+c)
=|a|^2+a·b+a·c+b·a+|b|^2+b·c+c·a+c·b+|c|^2=(|a|^2+|b|^2+|c|^2)+2a·b+2b·c+2c·a=0
即：a·b+b·c+c·a=-(|a|^2+|b|^2+|c|^2)/2
a+b+c=0，故：(a+b+c)·(a+b+c)=0，即：a·(a+b+c)+b·(a+b+c)+c·(a+b+c)
=|a|^2+a·b+a·c+b·a+|b|^2+b·c+c·a+c·b+|c|^2=(|a|^2+|b|^2+|c|^2)+2a·b+2b·c+2c·a=0
即：a·b+b·c+c·a=-(|a|^2+|b|^2+|c|^2)/2
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- 1楼网友：动情书生
- 2021-03-02 15:06
a⊥b，∴a*b=0.
(a-b)⊥c,∴（a-b)*c=a*c-b*c=0,∴a*c=b*c.
a+b+c=0,∴c=-（a+b),∴a*c=-(a^2+a*b)=-1.
a=-(b+c),a^2=b^2+c^2+2b*c,∴1=b^2+c^2-2,b^2+c^2=3,
∴|a|^2+|b|^2+|c|^2=4.
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