如何证明多元函数 x^(yz) 当x.y.z趋于0时极限不存在？
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解决时间 2021-03-24 10:14
- 提问者网友：城市野鹿
- 2021-03-23 13:15
如何证明多元函数 x^(yz) 当x.y.z趋于0时极限不存在？
最佳答案
- 五星知识达人网友：末日狂欢
- 2021-03-23 14:47
解：
方法非常的多！
令：u=x^(yz)
再令：t=yz，考查该函数，显然，无论y,z如何趋近0，总有t趋近0，因此，原极限转换成：
lim x^t
应用分类讨论可以知道，当x<0和x>0时，极限是不同的（当x→0-时，无意义），所以原极限不存在！
也直接可以用多元罗比达法则！
lim e^(yzlnx)，若要该式成立，必须x>0，所以当x→0-，原极限不存在！
值得注意，当x,y,z→0+时，
lim e^(yzlnx)
=lim e^(lnx/yz)
=lim e^{(dx/x)/[-(zdy+ydz)/(yz)²]}
=lim e^{1/[-2yz/(yz)²]}
=lim e^(-yz)
=1
方法非常的多！
令：u=x^(yz)
再令：t=yz，考查该函数，显然，无论y,z如何趋近0，总有t趋近0，因此，原极限转换成：
lim x^t
应用分类讨论可以知道，当x<0和x>0时，极限是不同的（当x→0-时，无意义），所以原极限不存在！
也直接可以用多元罗比达法则！
lim e^(yzlnx)，若要该式成立，必须x>0，所以当x→0-，原极限不存在！
值得注意，当x,y,z→0+时，
lim e^(yzlnx)
=lim e^(lnx/yz)
=lim e^{(dx/x)/[-(zdy+ydz)/(yz)²]}
=lim e^{1/[-2yz/(yz)²]}
=lim e^(-yz)
=1
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