圆周率π到底是怎么算出来的，千万别说周长除以直径

圆周率π到底是怎么算出来的，千万别说周长除以直径

圆周率是通过割圆术得出，周长除以直径得出的值是无理数（无限不循环小数），周长我们取的是近似数，真正的周长是无理数，这个真正的周长除以直径不能说是分数了，应叫无理数。

1、 圆周率π的定义：

    圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学上，π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x。

2、圆周率的计算

    古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。

    随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。

3、圆周率是无理数的证明：

  假设∏是有理数，则∏=a/b，（a,b为自然数）
   令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
   若0<x<a/b,则 0<f(x)<(∏^n)(a^n)/(n!) ，  0<sinx<1
   以上两式相乘得： 0<f(x)sinx<(∏^n)(a^n)/(n!)
   当n充分大时，,在[0，∏]区间上的积分有
    0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
   又令：f(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
   由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，

   故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，f(x)和f(∏)也都是整数。
   又因为 d[f'(x)sinx-f(x)conx]/dx =f"(x)sinx+f'(x)cosx-f'(x)cosx+f(x)sinx =f"(x)sinx+f(x)sinx =f(x)sinx
    所以有： ∫f(x)sinxdx=[f'(x)sinx-f(x)cosx]，（此处上限为∏，下限为0） =f(∏)+f(0)
   上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。

    所以∏不是有理数，又它是实数，故∏是无理数。

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最早的圆周率是巴比伦人在公元前20世纪发明出来的（π= 3.12）同时期印度人计算出π= 3.160493...。公元前12世纪中国古代科学家祖冲之计算出π=3，这个计算数值一直保持了近1000年。 阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen）于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。 第一个快速算法由英国数学家梅钦提出。1706年梅钦计算π值突破100位小数大关。 斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后首140位，其中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了梅钦于1706年提出的数式。 到1948年，英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。 计算机时代的2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算使π的小数点达到5万亿位。

周长除以直径得到的是圆周率 π 的精确值；而 π 的近似值有许多种计算方法，比如古代祖冲之的用分数逼近的方法（约率和密率）、通过幂级数或者傅里叶级数来计算的级数表示法，等等。

祖冲之生於南北朝（西元429-500年）范阳蓟县人,他曾算出月球绕地球一周为27.21223日,和现在公认的27.21222日,在小数第五位才有1的误差.难怪西方科学家将月球上的一个火山坑命名叫「祖冲之」,这也是月球上唯一用中国人命名的地方. 在三千多年前,周朝的时候,认为圆周长和直径的比是三比一,也就是说,那个时候的圆周率等 於三,后来,历代许多数学家,像西汉的刘歆、东汉的张衡,都分别提出新的数值.不过,真正求出比较 精确圆周率的,是魏晋时代(约西元263年)的刘徽,而他所用的方法叫做『割圆术』.他发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后,多边形的周长会越来越逼近圆周长,而多边形的面积也会越来越逼近圆面积.於是,刘徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系,从正六边形开始,逐步把边数加倍：正十二边形、正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形,算出圆周率等於3.141024.当时数学家利用一种竹片做成的『算筹』,摆放在地上代表数字进行运算,不但麻烦而且辛苦. 祖冲之在刘徽研究的基础上,进一步地发展,经过既漫长又烦琐的计算,一直算到圆内接正24576边形,而得到一个结论：圆周率的值介於3.1415926和3.1415927之间；同时,他还找到了圆周率的约率：22∕7、密率：355∕113.祖冲之为了求圆周率小数后的第七位准确值,把正六边形的边长计算到小数后二万八千六百七十二位,是很了不起的成就.这当中有三点值得我们注意的, 他是自己做的,因为开平方不能你求小数后第一位到第八位,同时间,有另外一人求第九位到第十六位,. 目前使用的算盘到了十二世纪才出现,祖冲之那个时代还没有算盘,可见其开平方的艰辛. 祖冲之不可能使用阿拉伯数字,阿拉伯数字在十二、十三世纪才传入中国,可以想像其计数之麻烦. 以上研究结果,都领先了西方的数学家一千多年呢!虽然现在电脑发达,可以在很短的时间之内,就求出圆周率小数点后面几千、几万个位数.

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