高二数学正余弦题目

在三角形ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a.b.c为三个连续整数，求a,b,c。

请解释说明一下。

解：因为在三角形ABC中，最大角A为最小角C的2倍，

则a/c=sinA/sinC=sin2C/sinC=2cosC，

又因为三边a.b.c为三个连续整数，所以a=b+1,c=b-1,
则a/c=(b+1)/(b-1)，

又因为cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,

所以(b+1)/(b-1)=2*[(a^2+b^2-c^2)/2ab]
(b+1)/(b-1)=2*[(b+1)^2+b^2-(b-1）^2]/[2(b+1)b],

化简得：b=5,

a=5+1=6,c=5-1=4.
 所以a=6,b=5,c=4

三边分别为4，5，6.

设三边分别为x，x+1，x+2,根据正弦角定理,根据c角最小，所以x/sinC=X

+2/sin（2c），sin（2c）=2sinCcosC，又根据余弦定理，可以得到2cosC=【（x+2）（x+2）+（x+1）（x+1）-x*x】/（x+2）（x+1），两个式子联立可以得到x=4

三条 边分别是N+2,n+1,n

(n+2)/sinA=n/sinC

A=2C

(n+2)/sin2c=n/sinc

(n+2)/2sinc*cosc=n/sinc

cosc=(n+2)/2n

cosc=a^2+b^2-c^2/2ab

=(n+2)^2+(n+1)^2-n^2/2(n+1)(n+2)

=(n^2+6n+5)/2(n+1)(n+2)

=(n+5)/2(n+2)

(n+2)/2n=(n+5)/2(n+2)

(n+2)^2=n(n+5)

n^2+4n+4=n^2+5n

n=4

所以三边是4，5，6

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