已知A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3),在坐标平面上求点P,使得IAPI平方+IB

已知A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3),在坐标平面上求点P,使得IAPI平方+IB

这个可以作为一个性质定理来用,上述重心性质可改述为:命题 在ΔABC中,G是重心,M是平面上任一点.求证：MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2 证明：ΔABC的三条中线AD,BE,CF交于G,不妨设M在ΔBGC内.对于ΔAMD和G,由斯特瓦尔定理得：MA^2*DG+MD^2*AG-MG^2*AD=AD*DG*AG 因为 DG=AD/3,GA=2AD/3,代入整理得3*MG^2=MA^2+2*MD^2-2*AD^2/3 (1) 容易算出,在ΔMBC和ΔGBC中有 MD^2=(MB^2+MC^2)/2-BC^2/4 GD^2=(GB^2+GC^2)/2-BC^2/4 将上述两式代入(1) 式得:3*MG^2=MA^2+MB^2+MC^2-(GB^2+GC^2)+2GD^2-2*AD^2/3 = MA^2+MB^2+MC^2-( GA^2+GB^2+GC^2) 所以 MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2 从等式显然可看出,当M异于G时,有 MA^2+MB^2+MC^2>GA^2+GB^2+GC^2 所以到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心.

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