数列{an}的前n项和为Sn,若an+Sn=n

数列{an}的前n项和为Sn,若an+Sn=n,求an

解:

S(n)=n-a(n)

S(n-1)=n-1-a(n-1)

两式相减,得:

a(n)=1+a(n-1)-a(n)(n≥2,n∈N*)

2a(n+1)=a(n)+1(n∈N*)

待定系数法:

设:

a(n+1)+k=0.5[a(n)+k]

则有:

a(n+1)=0.5a(n)-0.5k=0.5a(n)+0.5

故有:

k=-1

则数列{a(n)-1}是以a(1)-1=0.5-1=-0.5为首项,0.5为公比的等比数列

故有:

a(n)-1=-0.5×0.5^(n-1)=-0.5^n

a(n)=1-0.5^n(n∈N*)

当n为是1，a1等于-1/2.由an+Sn=n得:a<n+1>+S<n+1>=n+1两式相减得:2a<n+1>-an=1整理：(a<n+1>-1)=an-1，这说明an-1是等比数列，公比是1/2。由等比数列得：an-1=-(1/2)^n

an=1-1/2^n

令n=1，则2a1=1，a1=1/2

∵Sn=n-an

n≥2时，S(n-1)=(n-1)-a(n-1)

∴an=Sn-S(n-1)=1-an+a(n-1)

2an=a(n-1)+1，则2(an-1)=a(n-1)-1

∴(an-1)/[a(n-1)-1]=1/2(为常数)

∴数列{an-1}是首项为-1/2，公比为1/2的等比数列

∴an-1=-1/2×(1/2)^(n-1)=-1/2^n

∴an=1-1/2^n  (n≥2)

当n=1时，a1=1-1/2=1/2，成立

∴an=1-1/2^n

an+Sn=n，

当n=1时，a1=1/2，n=2,a2=3/4  

a(n-1)+S(n-1)=n-1    (括号内的为下标)

两式相减得到：an- a(n-1)+Sn-S(n-1)=1

所以：2an-a(n-1)=1

所以2（an-1）=a(n-1)-1 

所以设an-1=Bn

所以2Bn=B(n-1)，Bn/B(n-1)=1/2

所以Bn是以1/2为公比的等比数列

B1=1/2-1=-1/2，B2=3/4-1=-1/4

所以可知Bn=(-1/2)*(1/2)^(n-1)=-(1/2)^n

所以an=Bn+1=1-(1/2)^n

an=sn-s(n-1)

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