高二数学问题（急）

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率e=(2√3)/3，过点A（0，b)，和b(a,0)的直线与原点的距离为（√3）/2.
求：1.双曲线的方程
2.过双曲线做焦点F1，倾斜角为π/4的直线被双曲线所截得的弦长
3直线y=kx+m(k不等于0，m不等于0）与该双曲线交于不同两点C,D且C,D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围。

1、
e²=4/3=c²/a²=(a²+b²)/a²=1+(b/a)²
b/a=√3/3
a=√3b

过ABAB直线是x/a+y/b=1
所以原点到直线距离=|0+0-1|/√(1/a²+1/b²)=√3/2
ab/√(a²+b²)=√3/2
3(a²+b²)=4a²b²
a=√3b
所以b=1，a=√3
所以x²/3-y²=1



2、
c²=3+1=4
F1(-2,0)
k=tanπ/4=1
所以y=x+2
代入x²-3y²=3
2x²+12x+15=0
x1+x2=-6,x1x2=15/2
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=6
y=x+2
(y1-y2)²=(x1+2-x2-2)=(x1-x2)²=6
所以弦长=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=2√3



3、
A(0,1)
显然AC=AD=r
C(x1,y1),D(x,y2)
所以x1²+(y1-1)²=x2²+(y2-1)²
x1²-x2²=(y2-1)²-(y1-1)²=(y1+y2-2)(y2-y1)
y=kx+m
所以y1+y2=k(x1+x2)+2m
y1-y2=k(x1-x2)
所以(x1-x2)(x1+x2)=[k(x1+x2)+2m+2]*k(x2-x1)
斜率存在则不是垂直x轴
所以x1-x2不等于0
所以x1+x2=-k[k(x1+x2)+2m+2]
x1+x2=-2k(m+1)/(k²+1)

y=kx+m
代入x²-3y²=3
(3k²-1)x²+6kmx+3m²+3=0
x1+x2=-6km/(3k²-1)
-2k(m+1)/(k²+1)=-6km/(3k²-1)
k不等于0
(m+1)/(k²+1)=3m/(3k²-1)
3k²-m-1=3m
4m=3k²-1>=-1
m>=-1/4

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