2010年数学压轴中考题

2010年数学压轴中考题
如图,抛物线 与 轴交于 两点,与 轴交于C点,且经过点 ,对称轴是直线 ,顶点是 ．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过 两点作直线与 轴交于点 ,在抛物线上是否存在这样的点 ,使以点 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点 的坐标；若不存在,请说明理由；
（3）设直线 与y轴的交点是 ,在线段 上任取一点 （不与 重合）,经过 三点的圆交直线 于点 ,试判断 的形状,并说明理由；
（4）当 是直线 上任意一点时,（3）中的结论是否成立?（请直接写出结论）．
是哪年的中考题

（2009•烟台）压轴题
（1）根据题意,得 （2分）
解得
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3．（3分）
（2）存在．
在y=x2-2x-3中,令x=0,得y=-3．
令y=0,得x2-2x-3=0,
∴x1=-1,x2=3．
∴A（-1,0）,B（3,0）,C（0,-3）．
又y=（x-1）2-4,
∴顶点M（1,-4）．（5分）
容易求得直线CM的表达式是y=-x-3．
在y=-x-3中,令y=0,得x=-3．
∴N（-3,0）,
∴AN=2．（6分）
在y=x2-2x-3中,令y=-3,得x1=0,x2=2．
∴CP=2,
∴AN=CP．
∵AN‖CP,
∴四边形ANCP为平行四边形,此时P（2,-3）．（8分）
（3）△AEF是等腰直角三角形．
理由：在y=-x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=3．
∴直线y=-x+3与坐标轴的交点是D（0,3）,B（3,0）．
∴OD=OB,
∴∠OBD=45度．（9分）
又∵点C（0,-3）,
∴OB=OC．
∴∠OBC=45度．（10分）
由图知∠AEF=∠ABF=45°,∠AFE=∠ABE=45度．（11分）
∴∠EAF=90°,且AE=AF．
∴△AEF是等腰直角三角形．（12分）
（4）当点E是直线y=-x+3上任意一点时,（3）中的结论成立．（14分）

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