1+1/2+1/3+....+1/(2^n-1)>n/2

用数学归纳法证明

当n=1时，不等式为1>1/2，成立。

假设当n=k时，1+1/2+1/3+````+1/（2^k-1）>k/2成立

当n=k+1时，不等式为1+1/2+1/3+````+1/（2^k-1）+1/2^k+1/2^k+1```+1/2^(k+1)>k+1/2

因为

假设当n=k时，1+1/2+1/3+````+1/（2^k-1）>k/2成立

所以

1+1/2+1/3+````+1/（2^k-1）+1/2^k+1/2^k+1```+1/2^(k+1)>（k+1）/2可以化为

1/2^k+1/2^k+1```+1/2^(k+1)>1/2（只要证明这个成立即可）

运用放缩法左边1/2^k+1/2^k+1```+1/2^(k+1)>2^k（1/2^（k+1））>1/2,这样就证明出了。

证明：

当n=1时

1>1/2 命题成立

设n=k时 命题成立

则n=k+1时

1+1/2+1/3+....+1/(2^k)=1+1/2+1/3+....+1/(2^k-1) +1/[(2^k-1)+1] +1/[(2^k-1)+2]+...+1/(2^k)

>1+1/2+1/3+....+1/(2^k-1) +1/(2^k)+1/(2^k)+....+/(2^k)>k/2+2^(k-1)/(2^k)=k/2+1/2=(k+1)/2

所以命题对n=k+1也成立

由数学归纳法得

1+1/2+1/3+....+1/(2^n-1)>n/2

设f（n）=1+1/2+1/3+....+1/(2^n-1)，①当n=1时显然成立，②假设当n=k-1（k＞2）时成立，即f（k-1）＞（k-1)／2，当n=k时，f（k）=f（k-1)+1/(2^k-1)＞（k-1）／2+1/(2^k-1)＞k／2

第一步：当n=1时，1>1/2成立

第二步：假设当n=k时，1+1/2+1/3+....+1/(2*k-1)>k/2成立，

再证明 当n=k+1时，1+1/2+1/3+....+1/(2*n-1)>n/2成立就好！   补充这里的n用k+1带

。。。。综上所述   命题成立就OK啦！

证明：①当n=1时，1＞1/2，成立；

    ②若当n=k时成立，即1+1/2+1/3+....+1/(2^k-1)>k/2

    则当n=k+1时，1+1/2+1/3+....+1/(2^k)>k/2+1/（2^k-1  +1）+……+1/（2^k）    （*）

    因为1/（2^k-1  +a）＞1/（2^k）    （a＜2^k-1）

    所以（*）＞k/2+(1/2^k)*2^k-1=（k+1）/2    成立

综上①②：原不等式成立

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