已知函数y=f(x)的定义域是R，且f(½)=2，对于任意m,n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x＞-½时，f(x)＞0求证f(x)是定义在定义域R上是增函数

已知函数y=f(x)的定义域是R，且f(½)=2，对于任意m,n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x＞-½时，f(x)＞0求证f(x)是定义在定义域R上是增函数

函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y) （2）令：x=y=0代入可得：f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0 令y=-x代入可得：f(x-x)=f(x)+f(-x), 所以f(x)为奇函数 即f(0)=f(x)+f(-x), 从而 f(x)+f(-x)=0 所以：f(-x)=-f(x) （1）设任意实数x1,x2,且x1＜x2 则有：f(x2)-f(x1)=f(x2)+[-f(x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1) 由已知条件，x＞0时,有f(x)＜0； 现在x2-x1＞0，所以得到f(x2-x1)＜0, 即f(x2)-f(x1)＜0，由于x1＜x2，且都是实数。 f(x)在R上是减函数。

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