初三相似几何数学题

详解，谢谢。

证明：连结PC

因为AB=AC，AD是等腰△ABC的中线

所以，

D为BC的中点(中线定义)

∠ABC=∠ACB(等边对等角)

所以，

BD=CD(中点定义)

AD是等腰△ABC的高(等腰三角形的底边上的中线、底边上的高互相重合)

所以，∠PDB=∠PDC=90°

在△PDB和△PDC中，

BD=CD(已证)，∠PDB=∠PDC(已证)，PD=PD(公共边)

所以，△PDB≌△PDC(SAS)

所以，

BP=CP(全等三角形的对应边相等)

∠PBD=∠PCD(全等三角形的对应角相等)

因为∠ABC=∠ACB

所以，∠ABC-∠PBD=∠ACB-∠PCD(等式性质)

即∠PBA=∠PCE

因为CF∥BA

所以，∠PBA=∠PFC(两直线平行，内错角相等)

所以，∠PCE=∠PFC(等量代换)

因为∠CPE=∠FPC

所以，△PCE∽△PFC(两角对应相等，两三角形相似)

所以，PC÷PF=PE÷PC(相似三角形的对应边成比例)

所以，PC^2=PE×PF(比例的基本性质)

即CP^2=PE×PF

因为BP=CP

所以，BP^2=PE×PF(等量代换)

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