考研线性代数的问题当非齐次方程组的系数阵秩等于增广阵的秩且小于n时,方程组有无数个解,请问这些解线性是无关的嘛?线性无关

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解决时间 2021-07-21 11:11

提问者网友：绫月
2021-07-20 22:39

考研线性代数的问题
当非齐次方程组的系数阵秩等于增广阵的秩且小于n时,方程组有无数个解,请问这些解线性是无关的嘛?线性无关解的个数应该比基础解析多吗?
基础解析是线性无关,但基础解析可以取很多组,他们之间的关系如何?例如方程未知数5个,系数秩为3,基础解析为2,但基础解析可以取很多组,难道只有一组线性无关,其他均相关?还是所有组之间都线性无关,这些组不就构成了方程组的无数个解吗?

最佳答案

五星知识达人网友：拾荒鲤
2021-07-20 23:38

1 非齐次方程程的基础解系是其对应的齐次方程解向量与非齐次特解之和.
2 齐次方程的基础解系是其解向量的最大线性无关向量组,解向量中的任何值均可由其最大线性无关的向量组线性表出.最大的线性无关向量组的秩由N-R(A)确定!
明白以上2点,你的问题就不难弄懂了.
非齐次方程组的系数阵秩等于增广阵的秩且小于n时,方程组有无数个解.这些解的组合构成解向量,肯定是线性相关的.但是同时这无数个解中又存在最大为N-R(A)组线性无关的解.这样的组合可以有多个.

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