f(x)=x^2+2(a-2)x+4,当x属于[-3,1]时，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围,要速度

f(x)=x^2+2(a-2)x+4,当x属于[-3,1]时，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围

解：分情况

    （1） △<0时，f(x)>0恒成立

    即  [ 2(a-2) ]^2 - 4*1*4 = 4a^2 - 16a <0

    解得 0< a<4

    （2） △=0时 ，即  [ 2(a-2) ]^2 - 4*1*4=0  所以 a=0  或 a=4

    要使   x属于[-3,1]时，f(x)>0恒成立

    则对称轴 - 2(a-2) /2 < -3

    解得 a>5

    所以a不存在

    （3）△>0时，即  [ 2(a-2) ]^2 - 4*1*4>0  所以 a<0  或 a>4

    要使   x属于[-3,1]时，f(x)>0恒成立

    则 x 1= -3 和 x 2= 1在对称轴的同侧，且 f(-3)>0,  f(1)>0

    即（x1 - 对称轴的横坐标）*（x2 - 对称轴的横坐标）>0，且 f(-3)>0,  f(1)>0

    [ -3 - （- 2(a-2) /2）] * [ 1  - （- 2(a-2) /2）] >0，且 f(-3)>0,  f(1)>0

    （a - 5）* ( a - 1) >0 ，且 13 - 6*( a-2 )>0 , 5 + 2*(a-2)>0

    解得  a>5或a<1   且 a<25/6 , a> - 1/2

    所以 △>0时 ，  - 1/2<a<0

综上，实数a的取值范围 - 1/2<a<0或0< a<4

解：分情况    （1） △<0时，f(x)>0恒成立    即  [ 2(a-2) ]^2 - 4*1*4 = 4a^2 - 16a <0    解得 0< a<4    （2） △=0时 ，即  [ 2(a-2) ]^2 - 4*1*4=0  所以 a=0  或 a=4    要使   x属于[-3,1]时，f(x)>0恒成立    则对称轴 - 2(a-2) /2 < -3    解得 a>5    所以a不存在        （3）△>0时，即  [ 2(a-2) ]^2 - 4*1*4>0  所以 a<0  或 a>4    要使   x属于[-3,1]时，f(x)>0恒成立    则 x 1= -3 和 x 2= 1在对称轴的同侧，且 f(-3)>0,  f(1)>0    即（x1 - 对称轴的横坐标）*（x2 - 对称轴的横坐标）>0，且 f(-3)>0,  f(1)>0    [ -3 - （- 2(a-2) /2）] * [ 1  - （- 2(a-2) /2）] >0，且 f(-3)>0,  f(1)>0     

该函数的对称轴为-b/2a=(4-2a)/2=2-a

当△≤0，即0≤a≤4，整个图像在X轴上和上方

因为当x属于[-3,1]时，f(x)>0恒成立，所以对称轴2-a＞1或2-a＜-3

解得a＜-3或a＞5，与0≤a≤4的交集为空集，所以△必定＞0

所以a＜0或a＞4，综合起来a＜-3或a＞5

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