若函数 f(x)=1+ 2 x 2 x +1 +sinx在区间[-k，k](k＞0)上的值域为[n，m]，则m+n 等于（

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解决时间 2021-12-31 10:33

提问者网友：暮烟疏雨之际
2021-12-30 10:19

若函数 f(x)=1+ 2 x 2 x +1 +sinx在区间[-k，k](k＞0)上的值域为[n，m]，则m+n 等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3

最佳答案

五星知识达人网友：青尢
2021-12-30 11:35

∵f（x）=1+
2 x
2 x +1 +sinx，
∴f（-x）=1+
2 -x
2 -x +1 +sin（-x）=1+
1
2 x +1 -sinx，
∴f（x）+f（-x）=3．①
又本题中f（x）=1+
2 x
2 x +1 +sinx，
在区间[-k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，
即无论k取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值，
故可令k=1，由于函数f（x）=1+
2 x
2 x +1 +sinx在区间[-k，k]（k＞0）上是一个增函数，
故m+n=f（k）+f（-k）
由①知，m+n=f（k）+f（-k）=3．
故选D．

全部回答

1楼网友：佘樂
2021-12-30 12:09

记g（x）= 2x+1 2x+1 +sinx-1， ∴g（-x）= 21?x 2?x+1 +sin(?x)?1 = 2 1+2x ?sinx?1， ∴g（-x）+g（x）= 2x+1 2x+1 +sinx-1+ 2 1+2x ?sinx?1=0， ∴g（-x）=-g（x）． ∴函数g（x）在奇函数， ∴函数g（x）的图象关于原点对称， ∴函数g（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的最大值记为a，（a＞0），则g（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的最小值为-a， ∴-a≤ 2x+1 2x+1 +sinx-1≤a， ∴-a+2≤ 2x+1 2x+1 +sinx+1≤a+2， ∴-a+2≤f（x）≤a+2， ∵函数f（x）=1+ 2x+1 2x+1 +sinx在区间[-k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]， ∴m=-a+2，n=a+2， ∴m+n=4．故选d．

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