关于劳动合同签13个月，合法吗？

劳动合同签订的时间由双方共同确认，不一定是1年，2年或者是3年期限，可以有其它约定时限的。

社保从入职开始缴纳，公司直到9月还是10月才为你缴纳社保这个是违法了的，建议你向公司提出补缴的要求，公司不同意补缴的，你可以向社保局提出申请，让社保局来要求公司补缴，但你个人应缴纳部分也需要你自己补缴，另外，住房公积金也可以要求公司补缴的。

合同没解除的情况下不去上班一个星期，是不符合相关要求了的，公司可以视为你自动辞职的，具体要看公司的相关规定。

其它的上面已经回答完毕。