大一高等代数问题

设四元非其次方程组的系数矩阵的秩为3，已知a1，a2，a3是它的三个解向量，且a1=（2，3，4，5），a2+a3=（1，2，3，4），求该方程组的通解。

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楼主题目中的方程组为非齐次线性方程组，故其通解的结构应为

x=一个特解+对应导出组的通解。

以下分别考虑求出一个特解和导出组的一个基础解系来构成其导出组的通解。

1、特解题目已给，故可取为a1；

2、由于该四元非其次方程组的系数矩阵的秩为r=3，未知量个数为n=4(这由题目中的已知解有4个分量可得)，从而其导出组的基础解系中应含有的解向量个数为n-r=1，为此只要求出其导出组一个非零解即可。

由线性方程组解的性质可知

2*a1-(a2+a3)=（4，6，8，10）-（1，2，3，4）=（3，4，5，6）

应为其导出组的解，并且2*a1-(a2+a3)非零向量，从而可以构成其导出组的一个基础解系。

综合以上可知，该方程组的通解可表示为

x=a1+k*[2*a1-(a2+a3)]=（4，6，8，10）+k*（3，4，5，6），其中k为任取常数。

上面的解答，最后有一点笔下误：把a1写成了2a1.

设非齐次线性方程组为AX=B,由题意：A（a1）=B；A（a2）=B；A(a3)=B

A(2*a1-(a2+a3))=2B-B-B=0

∵2*a1-(a2+a3)=（3，4，5，6）≠0 ，从而可以构成其导出组AX=0的一个基础解系。

x=a1+k*[2*a1-(a2+a3)]=（2，3，4，5）+k*（3，4，5，6），其中k为任取常数。

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