已知数列{an}的前n项和为Sn, a1=1 an+1=3Sn (n€N")(1)求通项(2):若Bn= Log4an比较 b1+b2+~~~~bn与(n-1)的平方除2的大小.

很难的数学题

因为 a<n+1> ≥3Sn

所以有an≥3S<n-1>

因在an≥3S<n-1>中下表必须满足n-1≥1 ==>n≥2

所以a<n+1>-an=3（Sn-Sn-1）=3an

即 a<n+1>=4an(n≥2)

所以{an}是从第二项开始是一个q为4的等比数列

因为a2=3S1=3

所以当n≥2时 an=3×4^(n-2)

所以该数列的通项公式是

an=1,n=1;an=3×4^(n-2),n≥2

(2)因为n=1时 b1=log4(a1)=log4(1)=0

当n≥2时,bn=log4(an)=log4[3×4^(n-2]=log4(3)+log4[4^(n-2]=log4(3)+n-2

所以 b1+b2+~~~~bn

=0+log4(3)×(n-1)+0+1+2+3+...+(n-2)

=(n-1)log4(3)+(n-2)(n-1)/2

=(n-1)[2log4(3)+(n-2)]/2

=(n-1)[n+log4(9)-2]/2

[n+log4(9)-2]-(n-1)因为[n+log4(9)-2]-(n-1)=log4(9)-2+1=log4(9)-1

显然log4(9)>log4(4)=1 ==>log4(9)-1>0

所以[n+log4(9)-2]>(n-1) ==>(n-1)[n+log4(9)-2]/2≥(n-1)²/2

当且仅当n=1时取“=”

因为 an+1=3Sn

所以an+1-an=3（Sn-Sn-1）=3an

即 an+1=4an

所以数列{an}是首项为：a1=1，公比q=4的等比数列

即an=4^(n-1)

所以bn= Log4an=n-1

所以 b1+b2+~~~~bn=0+1+2+3+..+(n-2)+(n-1)=(n-1)(n-2)/2<(n-1)的平方除2

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