一道高一函数题，速度求解

已知f(x)=log3(x) [意思是以三为底】

且f(ax^2)*f(ax)=1的所有解都在区间（0，1）上，求a的取值范围。

解答：
log3(ax)*log3(ax^2)=1.....................①
→[log3(a) + log3(x) ][ log3(a) + 2log3(x)]=1
设t=log3(x), A=log3(a) (此时t<0)，则
(t+A)(2t+A)=1，即
2t^2+3At+A^2-1=0..........................②
条件①中x∈(0,1)等价于②中t∈(-∞,0)。
也就是说:当且仅当方程②的解都是负数时，方程①的解都在(0,1).
由一元二次方程的知识得：
(3A)^2-8(A^2-1)＞0
-3A/2＜0
(2A^2-1)/2＞0.
解这个不等式组，得：A＜-√2/2。
即：log3(a)＜-√2/2，
解得：0＜a＜(1/3)^(√2/2)。
所以实数a的范围是(0,(1/3)^(√2/2)).

log3(ax)*log3(ax^2)=1

所以[log3(a) + log3(x) ][ log3(a) + 2log3(x)]=1

令y=log3(x), 所以2y^2+3 log3(a) y+（ log3(a) ）^2-1=0

因为f(ax^2)*f(ax)=1的所有解都在区间（0，1）上 所以y<0 即2y^2+3 log3(a) y+（ log3(a) ）^2-1=0只有负数跟

△=（3 log3(a)）^2-4*2*+(（ log3(a) ）^2-1)>0

所以

(-3log3(a)) /2<0 (1)

(（ log3(a) ）^2-1)/2>0 (2)

由（1）得a>1 由（2）得a>3或a<1/3

所以a>3

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