高中数学-数列证明题

如何证明1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2=1/6(n+1)(2n+1)

你写的这个结论是错误的！应该是1/6×n×(n+1)(2n+1)。

由立方差公式：
n^3-(n-1)^=[n-(n-1)][n^+n(n-1)+(n-1)^]=3n^-3n+1
(n-1)^-(n-2)^=3(n-1)^-3(n-1)+1
(n-2)^-(n-3)^=3(n-2)^-3(n-2)+1
...
2^3-1^3=3*2^-3*2+1
1^3=3*1^3-3*1+1
以上n个式子相加：
--->n^3=3(1^+2^+3^+4^+...+n^)-3(1+2+3+4+...+n)+n
--->1^+2^+3^+4^+...+n^=[n^3+(3/2)n(n+1)-n]/3
　　　　　　　　　　　=(1/6)n[2n^+3n+3-2]
　　　　　　　　　　　=(1/6)n(n+1)(2n+1)

由立方差公式： n³ - (n - 1)³ = [n - (n - 1)][n² + n(n - 1) + (n - 1)²] = 3n² - 3n + 1 (n - 1)³ - (n - 2)³ = 3(n - 1)² - 3(n - 1) + 1 (n - 2)³ - (n - 3)³ = 3(n - 2)² - 3(n - 2) + 1 ……………………………………

2³ - 1³ = 3×2² - 3×2 + 1 1³ - 0³ = 3×1³ - 3×1 + 1 以上n个式子相加： n³ = 3(1² + 2² + 3² + 4² + …………+ n²) - 3(1 + 2 + 3 + 4 + ………… + n) + n n³ = 3(1² + 2² + 3² + 4² + ………… + n²) - 3×(1 + n)n/2 + n

1² + 2² + 3² + 4² + ………… + n²

= (1/3)(n³ - n) + (1/2)n(n + 1)

= (1/6)n(2n² + 3n + 1)

= (1/6)n(n + 1)(2n + 1)

你的式子都记错了，是这个用数学归纳法证明

证法一　　（归纳猜想法）： 　　1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 　　2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5 　　3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6 　　则当N＝x＋1时， 　　1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2 　　＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6 　　＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6 　　＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6 　　＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6 　　也满足公式 　　4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。 证法二　　（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）： 　　(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1, 　　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 　　.............................. 　　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 　　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1. 　　把这n个等式两端分别相加，得： 　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n, 　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2, 　　代入上式得： 　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n 　　整理后得： 　　1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 　　a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)

1^2=1/6*1（2*1+1）（1+1）=1/6*6=1 1^2+2^2=1/6*（2*2+1）（2+1）=1/6*30=5 ................................... 假设1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1) 则 1^2+2^2+3^2+……+n^2+（n+1）^2 =1/6n（2n+1)(n+1)+(n+1)^2 =1/6(n+1)(2n^2+n+6n+6) =1/6*(n+1)(2n+3)(n+2) =1/6*(n+1)[2(n+1)+1][(n+1)+1] 假设成立 得证

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