设f(z)=u+iv 在复平面解析，f(0)=0,v(x,y)=2xy 并满足 则 u(x,y)=?

复变函数初学` 请解详细点

根据柯西-黎曼条件，若f(z)=u+iv 解析，则满足εu/εx=εv/εy=2x,εu/εy=εv/εx=2y（这里ε表示的是偏导数，我不会打偏导数的符号）
因此u(x,y)=∫2xdx=x²+f(y)+C1,这样εu/εy=f'(y)=2y,所以f(y)=∫2ydy=y²+C2
u(x,y)=∫2xdx=x²+y²+C，
由已知f(0)=0，因此u(0,0)=C=0，
所以u(x,y)=x²+y²+i2xy

（1） ∂v/∂x=2y+3 ∂u/∂x=∂v/∂y=2x (柯西黎曼方程) f‘(z)=∂u/∂x+i(∂v/∂x)=2x+2iy+3i=2z+3i →f(z)=z²+3iz+c，由f(0)=-i得c=-i ∴f(z)=z²+3iz-i （2） ∂u/∂x=2y ∂v/∂x=-∂u/∂y=-2x+2 (柯西黎曼方程) f'(z)=∂u/∂x+i(∂v/∂x)=2y-2ix+2i=-2iz+2i →f(z)=-iz²+2iz+c，由f(0)=-i得c=-i ∴f(z)=-iz²+2iz-i

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