.经过原点（0，0）做函数f（x）=x3+3x2的切线，则切线方程为______

.经过原点（0，0）做函数f（x）=x3+3x2的切线，则切线方程为______．

∵f′（x）=3x2+6x，
①若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f′（0）=0，则切线方程为y=0；
②若原点（0，0）不是切点，设切点为P（x0，y0），
则切线的斜率为f′(x0)＝3
x 2
0
+6x0，因此切线方程为y?(
x 3
0
+3
x 2
0
)＝(3
x 2
0
+6x0)(x?x0)，
因为切线经过原点（0，0），∴?(3
x 2
0
+
x 3
0
)＝?x0(3
x 2
0
+6x0)，∵x0≠0，解得x0＝?
3
2 ．
∴切线方程为y＝?
9
4 x，化为9x+4y=0．
∴切线方程为y=0或9x+4y=0．
故答案为y=0或9x+4y=0．

解:f′（x）=3x2-6x+2．设切线的斜率为k． （1）当切点是原点时k=f′（0）=2， 所以所求曲线的切线方程为y=2x． （2）当切点不是原点时，设切点是（x0，y0）， 则有y0=x03-3x02+2x0，k=f′（x0）=3x02-6x0+2，① 又k==x02-3x0+2，② 由①②得x0=3/2，k==-1/4． ∴所求曲线的切线方程为y=-1/4x． 故曲线的切线方程是y=2x；y=-1/4x 证毕。 解析 分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，分原点是切点和原点不是切点两类求． 点评：本题考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．

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