函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-a，-y）是函数

函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．?
（Ⅰ）求函数y=g（x）的解析式；?
（Ⅱ）当x∈[a+3，a+4]时，恒有f（x）-g（x）≤1，试确定a的取值范围．

（Ⅰ）设P（x0，y0）是y=f（x）图象上点，Q（x，y），则







x＝x0?a
y＝?y0 ，
∴







x0＝x+a
y0＝?y ，∴-y=loga（x+a-3a），∴y=loga
1
x?2a  （x＞2a）．（5分）
（Ⅱ）令?（x）=f（x）-g（x）=loga[（x-2a）（x-3a）]=loga[(x?
5a
2 )2?
a2
4 ]，
由







x?2a＞0
x?3a＞0 ，得x＞3a，由题意知a+3＞3a，故a＜
3
2 ，
从而（a+3）-
5a
2 =
3
2 (a?2)＞0，
故函数?（x）=（x-
5a
2 ）2-
a2
4 在区间[a+3，a+4]上单调递增，（8分）
①若0＜a＜1，则?（x）在区间[a+3，a+4]是单调递减，
∴?（x）在[a+3，a+4]上的最大值为?（a+3）=loga(2a2?9a+9)，
在区间[a+3，a+4]上不等式f9x）≤1恒成立，
等价于不等式loga(2a2?9a+9)≤1成立，
从而2a2-9a+9≥a，解得a≥
5+



7
2 或a≤
5?



7
2 ，
结合0＜a＜1．得0＜a，1．
（2）若1＜a＜
3
2 ，则?（x）在区间[a+3，a+4]上单调递增，
∴?（a+3，a+4]上的最大值为?（a+4）=loga(2a2?12a+16)，
在[a+3，a+4]上不等式?（x）≤1恒成立．
等价于不等式loga(2a2?12a+16)≤1成立，
从而2a2-12a+16≤a，即2a2-13a+16≤0，解得
13?



41
4 ＜a≤
13+



41
4 ．
∵
13?



41
4 ＞
3
2 ，∴不符合．（14分）
综上可知：a的取值范围为（0，1）．（15分）

点p(x,y)是函数y=f(x)图象上的点，则 y=loga(x-3a) 点q(x-2a,-y)是函数y=g(x)图象上的点 则：-y=g(x-3a） 即：g(x-2a)=loga 1/(x-3a) 令x-2a=t 则g(t)=loga 1/(t-a) 即g(x)=loga 1/(x-a) |f(x)-g(x)|≤1，则 |loga(x-3a)-loga 1/(x-a)|≤1 即 |loga(x-3a)(x-a)|≤1 当x∈[a+2,a+3]时，恒有|f(x)-g(x)|≤1 -1≤loga(x-3a)(x-a)≤1 讨论，a>1时 1/a≤(x-3a)(x-a)≤a 解这个方程得： 2a+√(a^2+1/a)≤x≤2a+√(a^2+a) 或者， 2a-√(a^2+a)≤x≤2a-√(a^2+1/a) 则， 2a+√(a^2+1/a)≤a+2≤2a+√(a^2+a) 2a+√(a^2+1/a)≤a+3≤2a+√(a^2+a) 无解 或者， 2a-√(a^2+a)≤a+2≤2a-√(a^2+1/a) 2a-√(a^2+a)≤a+3≤2a-√(a^2+1/a) 无解 然后讨论00时，1/a+4a≥2√(4a*1/a)=4 所以1/a+4a-4≥0恒成立 得，0＜a≤4/5 2a+√(a^2+a)≤a+3≤2a+√(a^2+1/a) 2a+√(a^2+a)≤a+3 解得：0＜a≤9/7 a+3≤2a+√(a^2+1/a) 化简， √(a^2+1/a)≥3-a 两边平方，化简 1/a+6a-9≥0 得，(9-√57)/12＜a≤(9+√57)/12 综合得:(9-√57)/12＜a≤1 综合以上分析最终可得: (9-√57)/12＜a≤4/5 或者， 2a-√(a^2+a)≤a+2≤2a-√(a^2+1/a) 2a-√(a^2+a)≤a+3≤2a-√(a^2+1/a) 无解. 综合得:(9-√57)/12＜a≤4/5

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