求∮[(X+Y)dX/(X^2+Y^2)-(X-Y)dy/(X^2+Y^2)]（其中L为圆周x^2+y^2=a^2）,逆

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解决时间 2021-08-18 11:41

提问者网友：我们很暧昧
2021-08-17 20:47

求∮[(X+Y)dX/(X^2+Y^2)-(X-Y)dy/(X^2+Y^2)]（其中L为圆周x^2+y^2=a^2）,逆时针方向

最佳答案

五星知识达人网友：想偏头吻你
2021-08-17 22:04

P = (x+y) / (x^2+y^2)
Q = (y-x) / (x^2+y^2)
dQ/dx =( -(x^2+y^2) - 2x(y-x) ) / (x^2+y^2)^2
dP/dy = ( (x^2+y^2) - 2y(x+y)) / (x^2+y^2)^2
所以dQ/dx　－　dP/dy　＝　0
由格林公式有原来的积分为0
再问：原点在这个区域内，不能用格林公式啊·
再答：哦，是的，设 x=rcost y=rsint 由于是沿着x^2+y^2=a^2，所以r=a,dr=0 dx=rdcost+costdr=costdr-rsintdt = -asintdt dy=rdsint+sintdr=sintdr+rcostdt = acostdt 原来的积分可以化简为 ∫a(cost+sint)(-asintdt)/a^2 - a(cost-sint)(acostdt)/a^2 =∫(-cos^2t-sintcost-cos^2t+sintcost)dt =-2∫cos^2tdt =-2π

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