一道数学题目 高二

(sina+cosa+1)/(sinacosa)的最小值

 a的范围[0,90度]

令sinA+cosA=x，平方后有：sin2A+2sinAcosA+cos2A=x^2
得：sinAcosA=(x^2-1)/2
(sina+cosa+1)/(sinacosa)=2(x+1)/(x^2-1)=2/x-1

所以最小值为2/根号2-1

令t=sinA+cosA  由已知可知1<=t<=√2  (sinA+cosA)^2=t^2    展开化简得

sinAcosA=(t^2-1)/2

所以原式为 B=（sinA+cosA+1)/(sinAcosA)=2/(t-1)

B=2/(t-1)这是一个关于t的反比例函数。关于坐标（1，0）成中心对称的。画图就可以知道的，    在【1，√2】是单调递减的，所以在t=√2的时候有最小值、

所以原式的最小值就是2/（√2-1）=2(√2+1)

原式等于tana+1/tana+tana^2+1/tana^2(把换成sina^2+cosa^2整理)已知tana是大于或等于零.又因为tana+1/tana.tana^2+1/tana^2根据基本不等式同时在tana等于1时取得最小为所以原式最小4

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