数学必休一知识点

数学必休一知识点

高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2) 集合的表示方法：列举法与描述法.u 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c……}2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2}3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4） Venn图:4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意： 有两种可能（1）A是B的一部分,；（2）A与B是同一集合.反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集.AÍA②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.u 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集三、集合的运算运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’）,即AB=｛x|xA,且xB｝． 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’）,即AB ={x|xA,或xB})． 设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集（或余集）S
记作,即
CSA=
韦恩图示 S
性
质 AA=A AΦ=ΦAB=BAABA ABB AA=AAΦ=AAB=BAABAABB (CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= Φ．
例题：1.下列四组对象,能构成集合的是 （ ）A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是 .4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人.6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x),x∈A．其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.u 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2．值域 : 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .(2) 画法A、 描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．5．映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射.记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：A→B来说,则应满足：(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集．补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数. 二．函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取x1,x2∈D,且x1<x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(－x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(－x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称；2确定f(－x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0,则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0,则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2利用图象求函数的最大（小）值3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；例题：1.求下列函数的定义域：⑴ ⑵ 2.设函数的定义域为,则函数的定义域为_ _ 3.若函数的定义域为,则函数的定义域是 4.函数 ,若,则= 5.求下列函数的值域：⑴ ⑵ (3) (4)6.已知函数,求函数,的解析式7.已知函数满足,则= .8.设是R上的奇函数,且当时,则当时= 在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： ⑴ ⑵ ⑶10.判断函数的单调性并证明你的结论．11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．
第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*．u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作.当是奇数时,当是偶数时,2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：,u 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）· ；（2） ；（3） ．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>1 0<a<1
定义域 R 定义域 R
值域y＞0 值域y＞0
在R上单调递增 在R上单调递减
非奇非偶函数 非奇非偶函数
函数图象都过定点（0,1） 函数图象都过定点（0,1）
注意：利用函数的单调性,结合图象还可以看出：（1）在[a,b]上,值域是或；（2）若,则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数,总有；二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作：（— 底数,— 真数,— 对数式）说明：1注意底数的限制,且；
2 ；3注意对数的书写格式．两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数；2自然对数：以无理数为底的对数的对数．u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ＝ N＝ b
底数 指数 对数（二）对数的运算性质如果,且,那么：1 ·＋；2 －；3 ．注意：换底公式 （,且；,且；）．利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是（0,+∞）．注意：1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如：, 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数．2对数函数对底数的限制：,且．2、对数函数的性质：a>1 0<a<1
定义域x＞0 定义域x＞0
值域为R 值域为R
在R上递增 在R上递减
函数图象都过定点（1,0） 函数图象都过定点（1,0）
（三）幂函数1、幂函数定义：一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义并且图象都过点（1,1）；（2）时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数．特别地,当时,幂函数的图象下凸；当时,幂函数的图象上凸；（3）时,幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．例题：1. 已知a>0,a0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是　　　　　　 (　 )　　　　　　　 2.计算： ① ;②= ；= ;③ = 3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a= 5.已知,（1）求的定义域（2）求使的的取值范围 第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点.2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3、函数零点的求法：1（代数法）求方程的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数．（1）△＞0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点．（2）△＝0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点．5.函数的模型

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