复变函数里的主值到底什么意思
- 提问者网友：了了无期
- 2021-11-14 09:42
- 五星知识达人网友：傲气稳了全场
- 2021-11-14 10:51
例如arcsinx的主值区间为[-π/2，π/2]，sinπ/4=1/√2，sin11π/4=1/√2，我们规定
arcsin(1/√2)=π/4。
复变函数里e^[(2k+1)πi]=-1，Ln(-1)=(2k+1)πi，我们规定它的主值为ln(-1)=πi。
z^4，把全平面映射称四叶全平面。其反函数 z^(1/4)，全平面的原像可以是四个象限，为了确定是第几象限，我们利用z^4=-1四个根(1/√2)(±1+±i)，指定（-1）^(1/4)其中某个值作为主值，可确定某个象限。
- 1楼网友：笑迎怀羞
- 2021-11-14 11:35
辐角主值
中文名 辐角主值
外文名 principal argument angle
别 称 主辐角
区 间 （-π，π]
定义
复数的模与辐角是复数三角形式表示的两个基本元素，复数所对应的向量长度称为复数的幅值，该向量与实轴正方向的夹角为复数的辐角。辐角的大小有无穷多，但是辐角主值唯一确定。
辐角主值的计算
例题1：
求复变函数 Ln(1+i) 的主值
1+i=根号2乘以e的i（派/4+2k派）其中k是整数.这里用的是复数的指数形式.为什么加上2k派呢.因为我们知道角度概念扩展.在轴上表示同一个位置的角是相差2k派.主值的话是满足角度在－派到派之间,其中派可取,－派不可取.那么这里的话很明显就是角度是派/4,Ln(1+i)=ln根号2+派/4=0.5ln2+派/4
例题2：
复变函数里的主值到底什么意思?
(1) ,求Ln(-i)及其主值 ,2kpi - pi/2 ) ,主值为 i3pi/2
(2) ,求Ln(-3+4i)及其主值 ,
ln5 - iarctan(4/3) + i(2kpi + pi)
主值为 ln5 + i(pi - arctan(4/3))
我看出(1)题的主值是令k=1求得的 ,而(2)题的主值是令k=0求得的 ,这怎么回事 没有个规定的?
(2)题的答案照公式来应该是 ln5 - i( arctan(-4/3) + 2kpi )
又arctan(-4/3)=-arctan(4/3) ,所以也可以写成 ln5 - i( -arctan(4/3) + 2kpi)
这样怎么不对?为什么答案要多加一个pi?
复数z的辐角有无穷多个,其中有一个角称为辐角的主值,如果一个复变函数的函数值与辐角有关,且是多值函数,那么辐角取主值时的一个分支就称为函数的主值了.
比如对数函数Lnz=Ln(re^i(ψ+2kπ))=lnr+i(ψ+2kπ),k是任意整数,ψ是z的辐角的主值.k=0时的一个分支lnr+iψ称为Lnz的主值,记为lnz,即lnz=lnr+iψ.
注意：有些书上把辐角的主值定义为[0,2π)内的角度,有的是把辐角的主值定义为-π与π之间的角.这里的答案很明显选择的是前者。