设n为正整数,试说明整式n3+11n的值是6的倍数

设n为正整数,试说明整式n3+11n的值是6的倍数

先证能被2整除，
当N为偶数时，
偶数+偶数=偶数
当N为奇数时，
奇数+奇数=偶数
所以能被二整除

再证能被3整除
n^3+11n=n(n^2+11)
所以当N为3倍数时可以被3整除
当N为3K+1型数时
n^2+11=9k^2+6k+12=3*(3k^2+2k+4)
当N为3K+2型数时
n^2+11=9k^2+12k+15=3*(3k^2+4k+5)
均能被3整除，
所以这个数能被3整除

用数学归纳法证明如下 1. 当n=1时，n^3+11n=1+11=12,能被6整除 2. 设当n=k（k>=1），k^3+11n能被6整除 3. 当n=k+1时，(k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k=1+11k+11=(k^3+11k)+3(k^2+k+4) 即证明 3(n^2+n+4)能被6整除，即证明(n^2+n+4)能被2整除 1. 当n=1，n^2+n+4=1+1+4=6,能被2整除 2. 设当n=k（k>=1），k^2+k+4能被2整除 3. 当n=k+1时，（k+1）^2+(k+1)+4=k^+3k+6=(k^2+k+4)+2(k+1)能被2整除 所以(n^2+n+4)能被2整除 所以n^3+11n能被6整除 纯手打，望采纳！

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