一道概率论问题

设X，Y相互独立，且同时服从整正态分布N（0，n^2)；又A=aX+bY,B=aX-bY。

（1）求A和B的相关系数。（2）请问A，B是否相关？（3）问A，B是否相互独立。

∵X，Y相互独立，

1、∴E(A)=aE(X)+bE(Y)=0;E(B)=aE(X)-bE(Y)=0

D(A)=a²E(X)+b²E(Y)=（a²+b²）·n²;D(B)=a²D(X)+b²D(Y)=（a²+b²）·n²

E(AB)=E(a²X²-b²Y²)=a²E(X²)-b²E(Y²)=（a²-b²）·n²

COV(A,B)=(a²-b²）·n²

相关系数r=（a²-b²）·n²/(a²+b²）·n²=（a²-b²）/(a²+b²）

2、当a²≠b²时，r≠0，A、B不相关。

3、因为A、B都服从正态分布，所以A、B不独立。

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