初等数论题目若[a,b]=m 则(m,a+b)=(a,b)
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解决时间 2021-11-07 14:52
- 提问者网友：皆是孤独
- 2021-11-06 22:14
初等数论题目若[a,b]=m 则(m,a+b)=(a,b)
最佳答案
- 五星知识达人网友：神鬼未生
- 2021-11-06 23:38
因为[a,b]=m
根据（a，b）×[a，b]=ab
从而得到（a，b）=ab/m
不妨设a=（ab/m ）×s；b=（ab/m）×t,其中（s，t）=1
b=m/s，a=m/t
ab/m=m/（st）也就是
(a,b)=m/（st）
而（m，a+b）=（m，m/s+m/t）=（m，m（s+t）/（st））=（（m/st）×st，（m/st） ×（s+t））
而（s，t）=1，可以得到（s，s+t)=1,(t.s+t)=1
也就有（st，s+t）=1
也就是（m，a+b）=m/（st）
所以可以得到(a,b)=（m，a+b）
根据（a，b）×[a，b]=ab
从而得到（a，b）=ab/m
不妨设a=（ab/m ）×s；b=（ab/m）×t,其中（s，t）=1
b=m/s，a=m/t
ab/m=m/（st）也就是
(a,b)=m/（st）
而（m，a+b）=（m，m/s+m/t）=（m，m（s+t）/（st））=（（m/st）×st，（m/st） ×（s+t））
而（s，t）=1，可以得到（s，s+t)=1,(t.s+t)=1
也就有（st，s+t）=1
也就是（m，a+b）=m/（st）
所以可以得到(a,b)=（m，a+b）
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