将函数f(x)=1/1+2x展开成关于x的幂级数

将函数f(x)=1/1+2x展开成关于x的幂级数

为什么没有人回答呢,太简单了吗?
根据等比数列公式,
1/(1+2x) = 1/(1-(-2x)) = 1 + (-2x) + (-2x)^2 + (-2x)^3 + ... + (-2x)^(n-1) + ... ,
这是因为等比数列前n项和是(公比为-2x)：
S(n) = [1 - (-2x)^n]/(1 - (-2x)) 趋于 1/(1+2x) （当n趋于无穷）.
所以展开式就是
1/(1+2x) = Sum (n从1到无穷) (-2x)^(n-1),注意能够展开的条件是公比的绝对值必须小于1,即
|-2x| < 1,或者 -1/2 < x < 1/2.在x的其他数值是没有幂级数展开式的,因为等比数列求前n项和后求出来的极限是无穷大. Sum就是求和符号.

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