如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线

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解决时间 2021-03-17 00:15

提问者网友：献世佛
2021-03-16 18:58

最佳答案

五星知识达人网友：青灯有味
2021-03-16 19:21

解：（1）A（1，4）。
由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）² +4
∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）² +4，解得，a=﹣1。
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）² +4，即y=﹣x² +2x+3。
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（1，4），C（3，0），
∴ ，解得。
∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6。
∵点P（1，4﹣t），
∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为。
∴点G的横坐标为，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为。
∴GE=（）﹣（4﹣t）= 。
又点A到GE的距离为，C到GE的距离为，
∴ 。
∴当t=2时，S_△ACG 的最大值为1。
（3）或。

（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为
y=a（x﹣1）² +4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）。
（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标
（1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE= 、点A到GE的距离为，C到GE的距离为；最后根据三角形的面积公式可以求得，由二次函数的最值可以解得t=2时，S_△ACG 的最大值为1。
（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上。分CE是边和对角线两种情况讨论即可。

由题设和（2）知，C（3，0），Q（3，t），E（），设H（）。
当CE是对角线时，如图1，有CQ=HE=CH，即
，
解得，或t=4（舍去，此时C，E重合）。
当CE是边时，如图2，有CQ=CE=EH，即
，
解得，或（舍去，此时已超过矩形ABCD的范围）。
综上所述，当或时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，
使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形。

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