设F(x)在[a,b]上连续,证明: F(x)在[a,b]上有界

设F(x)在[a,b]上连续,证明: F(x)在[a,b]上有界

用反证法。若无界，
对任意ε>0,存在δ>0,使得x1,x2属于（a,b),且两数差的绝对值<δ时，两数函数值的绝对值<ε.
任取xn属于(a,b)，xn的极限为a+,则{xn}为柯西数列。故存在正整数N，当m,n>N时，xn,xm的绝对值<δ,故两函数值的绝对值<ε,从而{f(xn)}为柯西数列，故{f(xn)}收敛。任意xn1,xn2趋于a+(n趋于无穷大)，显然有
x11,x12,x21,x22,…,xn1,xn2,…趋于a+.
可知f(xn1),f(xn2)的极限均为a+
可知{f(x)}当x趋于a的极限存在有限。
同理可得其他

f&apos;(x)在(a,b)上有界 ==》 存在 m&gt;0 使得 |f&apos;(x)| &lt;m 对 任意 (a,b)中的x都成立。 设 c = (a+b)/2, 则 |f(x)| &lt; (b-a)*m + |f(c)|对(a,b)中的x都成立。 对 任意 (a,b)中的x， 如果 x=c, 上式显然成里。否则，在 c 与 x 之间存在 d 使得： f&apos;(d)=(f(x)-f(c))/(x-c) ==》 f(x)=f(c)+f&apos;(d)(x-c) ==&gt; |f(x)| &lt;=|f(c)| + m*|x-c|&lt;(b-a)*m + |f(c)| 于是 f(x)在（a,b）上有界

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