如果f(x)乘以g(x)是偶函数，那么f(x),g(x)同是奇函数或同是偶函数么？如何证明？

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解决时间 2021-03-18 12:32

提问者网友：泪痣哥哥
2021-03-17 16:39

最佳答案

五星知识达人网友：街头电车
2021-03-17 18:02

不一定，“f(x),g(x)同是奇函数或同是偶函数”是“f(x)乘以g(x)是偶函数”的充分不必要条件。也就是说，f(x),g(x)同是奇函数或同是偶函数则f(x)乘以g(x)一定是偶函数，但f(x)乘以g(x)是偶函数,f(x),g(x)不一定同是奇函数或同是偶函数。

不必要性：取f(x)=x-1,x∈R和g(x)=x+1,x∈R，它们都是非奇非偶函数，但是f(x)·g(x)=x²-1是偶函数。

充分性：若f(x),g(x)同是奇函数或同是偶函数，那么f(-x)·g(-x)=f(x)·g(x),f(x)·g(x)是偶函数。

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1楼网友：老鼠爱大米
2021-03-17 19:39

如果函数f(x)与g(x)的定义域相同，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，请说明函数f(x)=f(x)g(x)是奇函数。因为两者定义域相同，所以f(x)=f(x)g(x)定义域也相同 f(-x)=-f(x) g(-x)=g(x) f(-x)=f(-x)f(-x)=-f(x)g(x)=-f(x) 由奇函数的定义可得到f(x)是奇函数。

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