如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形A

如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形A

一、当直线AB不存在斜率时,AB的方程显然是x＝－1.　　令x^2＋2y^2＝2中的x＝－1,得：1＋2y^2＝2,∴y^2＝1/2,∴y＝√2/2,或y＝－√2/2.　　∴此时｜AB｜＝√2.　　很明显,点O到AB的距离＝1.∴此时S(△AOB)＝（1/2）｜AB｜×1＝√2/2.二、当直线AB存在斜率时,令其斜率＝k,则AB的方程是：y＝k（x＋1）,即x＝y/k－1.　　联立：x＝y/k－1、x^2＋2y^2＝2,消去x,得：（y/k－1）^2＋2y^2＝2,　　∴（1/k^2）y^2－（2/k）y＋1＋2y^2＝2,∴（2＋1/k^2）y^2－（2/k）y－1＝0.　　∵A、B都在直线x＝y/k－1上,∴可令A、B的坐标分别为（m/k－1,m）、（n/k－1,n）.　　显然,m、n是方程（2＋1/k^2）y^2－（2/k）y－1＝0的根,∴由韦达定理,有：　　m＋n＝（2/k）/（2＋1/k^2）、mn＝－1/（2＋1/k^2）.　　∵直线AB过点（－1,0）,∴m、n异号,不妨设m＞0,则｜m｜＋｜n｜＝m－n.　　∴此时,　　S(△AOB)　　＝（1/2）｜m｜＋（1/2）｜n｜＝（1/2）（m－n）＝（1/2）√［（m＋n）－4mn］.　　自然,当［（m＋n）－4mn］有最大值时,S(△AOB)就有最大值.　　而［（m＋n）－4mn］　　＝（2/k）/（2＋1/k^2）＋4/（2＋1/k^2）　　＝2/（k＋2/k）＋4/（k＋2/k）＝6/（k＋2/k）.　　考虑到椭圆的对称性,只需要考虑k＞0就可以了,此时有k＋2/k≧2√2,　　∴［（m＋n）－4mn］≦6/（2√2）＝（3/2）√2.　　∴此时S(△AOB)的最大值＝（1/2）√［（3/2）√2］＝（1/4）√（6√2）.∵64＜72,∴8＜6√2,∴2√2＜√（6√2）,∴√2/2＜（1/4）√（6√2）.∴综合一、二,得：S(△AOB)的最大值是（1/4）√（6√2）.======以下答案可供参考======供参考答案1:答案是1/2根号2。过程很复杂。真要的话，我拍照给你。 如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值(图1)答案网 www.Zqnf.com 答案网 www.Zqnf.com 快乐欣儿姐 有错。不是m+n，是m+n的平方，漏了平方。

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