1+2^2+3^2+4^2+.......+x^2=
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解决时间 2021-12-01 02:39
- 提问者网友：欲望失宠
- 2021-11-30 15:11
1+2^2+3^2+4^2+.......+x^2=
最佳答案
- 五星知识达人网友：鱼芗
- 2021-11-30 15:19
有公式的：
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
这个公式高中会学到。
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
这个公式高中会学到。
全部回答
- 1楼网友：神也偏爱
- 2021-11-30 15:48
=x(x+1)(2x+1)/6
利用立方差公式
x^3-(x-1)^3=1*[x^2+(x-1)^2+x(x-1)]
=x^2+(x-1)^2+x^2-x
=2*x^2+(x-1)^2-x
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
x^3-(x-1)^3=2*x^2+(x-1)^2-x
各等式全相加
x^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+x^2)+[1^2+2^2+...+(x-1)^2]-(2+3+4+...+x)
x^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+x^2)-2+[1^2+2^2+...+(x-1)^2+x^2]-x^2(2+3+4+...+x)
x^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+x^2)-2-x^2-(1+2+3+...+x)+1
x^3-1=3(1^2+2^2+...+x^2)-1-x^2-x(x+1)/2
3(1^2+2^2+...+x^2)=x^3+x^2+x(x+1)/2=(x/2)(2x^2+2x+x+1) =(x/2)(x+1)(2x+1)
则1^2+2^2+3^2+...+x^2=x(x+1)(2x+1)/6
利用立方差公式
x^3-(x-1)^3=1*[x^2+(x-1)^2+x(x-1)]
=x^2+(x-1)^2+x^2-x
=2*x^2+(x-1)^2-x
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
x^3-(x-1)^3=2*x^2+(x-1)^2-x
各等式全相加
x^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+x^2)+[1^2+2^2+...+(x-1)^2]-(2+3+4+...+x)
x^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+x^2)-2+[1^2+2^2+...+(x-1)^2+x^2]-x^2(2+3+4+...+x)
x^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+x^2)-2-x^2-(1+2+3+...+x)+1
x^3-1=3(1^2+2^2+...+x^2)-1-x^2-x(x+1)/2
3(1^2+2^2+...+x^2)=x^3+x^2+x(x+1)/2=(x/2)(2x^2+2x+x+1) =(x/2)(x+1)(2x+1)
则1^2+2^2+3^2+...+x^2=x(x+1)(2x+1)/6
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