角元塞瓦定理

什么是角元塞瓦定理？
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角元塞瓦定理
开放分类： 数学

各位朋友，请注意：
角元塞瓦定理和塞瓦定理是完全不一样的！

角元塞瓦定理：十年前，在数学竞赛中，证明平面几何中的三线共点问题时，首选的方法是同一法，行之有效的方法是同一法，用得最多的方法还是同一法．近几年来，同一法的老大地位已逐渐让位于塞瓦定理的逆定理，其中当然包括角元塞瓦定理的逆定理．下面给出角元塞瓦定理的逆定理

．sin CBE 一1 sin DAC sin FCB sin EBA 一①则AD、BE、CF三线共点或互相平行．收稿日期：2005—08—26 推论若所引的三条线段都在△ABC 内部，则这三条直线共点．数学竞赛的教练和优秀选手经常用塞瓦定理的逆定理来证明三线共点问题，并不是因为人们对此定理有所偏爱，而是因为它好用且适用，比同一法更加行之有效．加之使用角元塞瓦定理时，不但可以与平面几何中的许多定理配合应用，而且可以自然而然使用各种三角公式，因此，角元塞瓦定理的逆定理备受青睐．尽管这一逆定理的结论是“三线共点或互相平行”，但“三线互相平行”这一情形在大多数情况下都容易排除，并不影响用来证明三线共点问题．例1 设正方形PQaS内接于△ABC，其又P =PF，则AB FC DE PA PC PE ．CD BF EA —PC PF PA 一‘故AB·FC·DE=BF·CD·EA．因此，AC、BD、三线共点，即E、K、F 三点共线．

塞瓦（giovanni ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。 [编辑本段]具体内容　　塞瓦定理 　　在△abc内任取一点o， 　　直线ao、bo、co分别交对边于d、e、f，则 (bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)=1 　　证法简介 　　（ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明： 　　∵△adc被直线boe所截， 　　∴ (cb/bd)*(do/oa)*(ae/ec)=1 ① 　　而由△abd被直线cof所截，∴ (bc/cd)*(do/oa)*(af/fb)=1② 　　②÷①:即得：(bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)=1 　　（ⅱ）也可以利用面积关系证明 　　∵bd/dc=s△abd/s△acd=s△bod/s△cod=(s△abd-s△bod)/(s△acd-s△cod)=s△aob/s△aoc ③ 　　同理 ce/ea=s△boc/ s△aob ④ af/fb=s△aoc/s△boc ⑤ 　　③×④×⑤得bd/dc*ce/ea*af/fb=1 　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 　　设三边ab、bc、ac的垂足分别为d、e、f， 　　根据塞瓦定理逆定理，因为(ad:db)*(be:ec)*(cf:fa)=[(cd*ctga）/[(cd*ctgb）]*[(ae*ctgb)/(ae*ctgc)]*[(bf*ctgc)/[(bf*ctga)]=1，所以三条高cd、ae、bf交于一点。 　　可用塞瓦定理证明的其他定理; 　　三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 d , e分别为bc , ac 中点 所以bd=dc ae=ec 所以bd/dc=1 ce/ea=1 　　且因为af=bf 所以 af/fb必等于1 所以af=fb 所以三角形三条中线交于一点 　　此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 　　在△abc的三边bc、ca、ab或其延长线上分别取l、m、n三点，又分比是λ=bl/lc、μ=cm/ma、ν=an/nb。于是al、bm、cn三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1） 塞瓦定理推论　　1.设e是△abd内任意一点，ae、be、de分别交对边于c、g、f，则(bd/bc)*(ce/ae)*(ga/dg)=1 　　因为(bc/cd)*(dg/ga)*(af/fb)=1，（塞瓦定理）所以 (bd/cd)*(ce/ae)*(af/fb)=k（k为未知参数）且(bd/bc)*(ce/ae)*(ga/dg)=k（k为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(bd/cd)*(ce/ae)*(af/fb)=1 　　所以(bd/bc)*(ce/ae)*(ga/dg)=1 　　2.塞瓦定理角元形式 　　ad,be,cf交于一点的充分必要条件是： 　　(sin∠bad/sin∠dac)*(sin∠acf/sin∠fcb)*(sin∠cbe/sin∠eba)=1 　　由正弦定理及三角形面积公式易证 　　3.如图，对于圆周上顺次6点a,b,c,d,e,f，直线ad,be,cf交于一点的充分必要条件是： 　　(ab/bc)*(cd/de)*(ef/fa)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。 　　4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点 　　设三边ab、bc、ac的垂足分别为d、e、f，根据塞瓦定理逆定 理，因为(ad:db)*(be:ec)*(cf:fa)=[(cd*ctga）/[(cd*ctgb）]*[(ae*ctgb)/(ae*ctgc)]*[(bf*ctgc)/[(ae*ctgb)]=1，所以三条高cd、ae、bf交于一点。

 

 

 

详见 http://baike.baidu.com/view/148207.htm?fr=ala0_1_1

 

1. http://gaoyun63.nease.net/olpc/jhdl.htm

2. http://wenwen.sogou.com/z/q784694706.htm